Родился в семье рабочих: отец — Виктор Иванович Бирюков — родом из Москвы, был строителем; мать — Валентина Фёдоровна — родом из Тульской области, работала разнорабочей на мясокомбинате.
Детство Александра прошло в Москве, увлекался футболом и хоккеем. После игры на кубке Москвы Александр был замечен хоккейным тренером Евгением Майоровым и приглашен в спортивную школу «Спартак», куда стал ездить на тренировки. Однако тяжёлая травма плеча и несколько неудачных операций не позволили продолжить карьеру хоккеиста.
В 1971 году Александр поступил в Государственный центральный ордена Ленина институт физической культуры (ГЦОЛИФК) на кафедру хоккея.
Оба его сына —
Максим и
Игорь — профессиональные хоккейные игроки;
Максим Бирюков также детский тренер.